학술/기술 기사 | 01
파워 스펙트럼 분석으로 이해하는
시계열의 주기성과 메모리
Power Spectrum Analysis for Interpreting
Periodicity and Memory in Time Series
2026/07/01
이은표
서울대학교 공과대학
건설환경도시공학부 박사과정
ep_lee@snu.ac.kr
양수현
서울대학교 공과대학
건설환경도시공학부 조교수
soohyunyang@snu.ac.kr
1. 시계열의 핵심 특성 – 주기성과 메모리
시계열(Time series)은 관측하여 얻은 값을 시간의 흐름에 따라 순서대로 기록한 자료이다. 일상생활에서도 시간에 따른 기온, 전기 사용량, 매출의 변동과 같이 시계열을 쉽게 접할 수 있다. 주어진 현상은 동일할지라도, 얼마나 촘촘하게 기록할지에 따라 시계열의 시간 해상도가 달라져 다른 종류의 자료로 구분된다. 시계열은 보편적인 동시에, 시간 순서에 따른 현상을 이해하고 연구하는 학문 분야에 필수적인 자료이기도 하다. 수문 분야를 예로 살펴보자. 시계열은 강수, 유출, 증발산 등 물 순환 내 흐름을 나타내는 수문현상의 시간적 변동성을 이해하고, 미래 거동을 예측하기 위한 핵심 자료로 활용된다. 특히, 강수와 하천 유량의 시계열에 대한 분석은 홍수 및 가뭄 특성 파악, 기후변화 시나리오에 따른 수자원 안정성 평가 등 다양한 연구에 활용된다. 이러한 연구의 결과는 유역물관리 분야 현 정책의 타당성을 평가하고, 향후 개선 방향을 결정하는 기반 지식을 제공한다는 중요성이 있다. 연구의 목적에 따라 시간 해상도 또한 달라질 수 있다. 예를 들어, 올해의 장마철 홍수량을 분석할 때는 분 단위 자료가 주로 활용된다. 반면, 기후변화가 수자원에 미치는 장기적인 영향을 평가할 때는 연 단위 자료가 주로 활용된다.
강수와 하천 유량과 같은 수문 시계열은 확률적으로 변동하는 추계 시계열이라고 가정된다 (선우중호 & 김영오, 2019). 추계적인 시계열의 핵심적인 특성은 주기성과 메모리이다. 시계열의 주기성이란 일정한 시간 간격을 두고 비슷한 패턴이 반복적으로 나타나는 성질을 의미한다. 예를 들어, 우리나라 기온이 1년 주기로 여름에는 높아지고, 겨울에는 낮아지는 계절적 변동을 보이는 것처럼 말이다. 이러한 주기성은 자연환경에 내재된 특성과 더불어 외부 요인에 의해서도 형성되거나 변화할 수 있다. 실제로 하천 수량 및 수질 시계열에서 나타나는 주기성은 기후•수문 조건에 따른 자연적 계절성과 이를 강화 또는 저해하는 인간활동의 상호작용에 의해 영향을 받는 것으로 보고된 바 있다 (Wang et al., 2024; Zhang et al., 2025). 시계열의 메모리란 과거의 영향이 현재에 남아있도록 하는 성질이다 (Keshner, 1982). 가까운 시간 혹은 인접한 공간에서 비슷한 이벤트가 발생하는 것으로 메모리를 물리적으로 이해할 수 있다. 하천 유량 값을 예로 들면, 일반적으로 오늘과 내일 사이 유량 값의 차이가 오늘과 세 달 뒤 값의 차이보다 작은 경우이다. 유역 수문반응 분야에서 다루는 시계열의 메모리는 유역 전체에 분포하는 물과 수질인자가 저장•이동•혼합되는 과정과 밀접하게 관련되어 있다. 이러한 과정에서 입력 시계열 신호가 변형되어 유역 출구에서 관측되는 현상을 유역 필터링(Catchment filtering)이라고 하며, 그 결과 유량 및 수질인자 시계열에는 과거 영향이 지속되는 메모리가 나타날 수 있다. 선행연구는 토양 내 물 또는 수질인자의 저장소가 형성되면, 유역 출구에서 측정한 유량 및 수질인자 농도 시계열에 메모리가 형성됨을 밝혔다 (Gall et al., 2013; Kirchner & Neal, 2013). 추가적으로, 토지 이용 및 오염원 배출 등 유역 특성을 변화시키는 인간활동이 메모리 형성에 미치는 영향에 관한 연구도 수행되었다 (이은표, 2026).
시계열의 주기성과 메모리라는 핵심 특성에 대한 분석은 시계열의 변동 구조를 이해하는 데에 도움을 준다. 전통적으로, 해당 특성은 시간 도메인에서 분석되어 왔다. 현재 값과 과거 값의 상관관계를 시차에 따라 정량화하여 시계열의 시간적 의존성을 파악하는 자기상관함수(Auto Correlation Function, ACF)가 대표적인 방법이다. 흥미롭게도, 주파수 도메인에서도 해당 특성을 이해할 수 있다. 시계열을 이루는 주기 성분을 분해하고 그 에너지의 분포를 파악할 수 있으며, 이를 통해 주된 주기 성분과 장•단기 변동 구조를 동시에 알아낼 수 있다. 주파수 도메인 관점의 뚜렷한 장점에도 불구하고, 시계열 분석 연구에서 시간 도메인 관점보다 상대적으로 적은 인지도를 갖고 있다. 따라서, 본 기사는 수문•수리•수환경을포함한 수자원 분야 연구자들에게 주파수 도메인에서 시계열의 특징을 이해하는 방법과 대표적인 선행 연구를 소개하고, 해당 방법론의 의의를 공유하고자 한다.
2. 파워 스펙트럼 분석(Power Spectrum Analysis, PSA) 방법
2.1. 시계열을 주파수 도메인 자료로 변환하기 – 푸리에 변환
파워 스펙트럼 분석(Power Spectrum Analysis, PSA)은 시계열을 주파수 도메인 자료로 변환하여, 주기성과 메모리를 분석하는 기초적인 방법이다. 파동의 측면에서 보면, 시계열은 여러 주파수를 가진 주기함수의 합과 같다 (그림 1A-B). 마치, 오케스트라의 연주가 개별 악기의 음색이 합쳐서 완성되는 것처럼 말이다. 따라서, 푸리에 변환을 이용하여 주어진 시계열을 전체 기간 동안 주기가 일정한 여러 종류의 사인파로 분해함으로써, 주파수 도메인 자료로 변환한다. 이를 통해, 해당 시계열에 어떤 주파수 성분이 얼마나 포함되어 있는지 이해할 수 있다. 일반적으로, 수자원 분야 연구에서는 이산 시계열을 주로 사용하므로 (예: 일 단위 수위 관측자료, 분 단위 용존산소 농도 자료), 이산 푸리에 변환(Discrete Fourier Transform, DFT)을 통해 시계열을 주파수 도메인으로 옮길 수 있다 (식 1).
X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-i2\pi kn/N},
k = 0, 1, \ldots, N-1
(식 1)
식 1에서 X[k]는 복소 스펙트럼 계수로서, N개의 데이터로 구성된 이산 시계열 x[n]을 k번째 주파수 성분 e^{-i2\pi kn/N}으로 분해했을 때 해당 성분의 크기와 위상 정보를 함께 나타낸다. 여기서 n은 시계열 자료의 표본 인덱스이며, k는 주파수 성분의 인덱스이다. DFT에서는 첫 번째 시계열 자료를 n=0으로 두어 n = 0, 1, \cdots, N-1 인덱스를 사용하며, 이때, 첫 번째 자료에 곱해지는 복소지수항은 모든 k에 대해 1이 된다. 한편, k 역시 0, 1, \cdots, N-1의 범위를 갖는다. 이는 k=N, N+1, \cdots와 같이 N 이상의 값을 사용하더라도 새로운 주파수 성분이 추가되는 것이 아니라, 기존 성분이 반복되기 때문이다.
파워는 물리적으로 단위 시간당 전달되는 에너지를 의미하며, 신호 처리 분야에서는 신호 크기의 제곱에 비례하는 양으로 해석된다. 이는 파워라는 용어가 전기공학에서 유래되었으며, 전압 신호 v(t), 순간 전력 p(t)/[katex], 저항 [katex]R의 관계인 p(t)=v(t)2/R에 의해 신호의 제곱을 파워라고 관습적으로 부르게 되었기 때문이다. PSA 과정 중 계산되는 파워 스펙트럼(Power Spectrum, PS)은 개별 주파수 빈(Frequency bin)에 포함된 파워의 총량을 의미한다 (식 2).
P[k] = \frac{2|X[k]|^2}{N^2}, \quad k = 1, 2, \ldots, \frac{N}{2} - 1
(식 2)
식 2에서 P[k]는 k번째 주파수 성분에 대한 PS를 의미한다. 이는 k번째 주파수 성분의 정규화 된 크기인 \frac{|X[k]|}{N}을 제곱한 뒤, 2를 곱하여 계산된다. 여기서 2를 곱하는 이유는 실수값 시계열의 DFT결과가 양의 주파수 성분과 음의 주파수 성분 사이에서 켤레 대칭을 이루기 때문이다. 즉, 음의 주파수 영역(k = \frac{N}{2} + 1, \frac{N}{2} + 2, \ldots, N - 1)의 파워는 이에 대응되는 양의 주파수 영역(k = 1, 2, \ldots, \frac{N}{2} - 1)의 파워와 동일하다. 따라서, 식 2는 양의 주파수 영역만 사용하는 단측 PS 관점에서, 음의 주파수 영역에 존재하는 동일한 파워를 함께 반영하기 위해 양의 주파수 성분 PS에 2를 곱한 것이다. 다만, k = 0와 k = \frac{N}{2}에 대해서는 2를 곱하지 않는다. k = 0은 시계열의 평균값에 해당하는 진동하지 않는 성분이며, k = \frac{N}{2}은 양의 주파수와 음의 주파수 쌍으로 나뉘지 않기 때문이다.
PSA는 주파수별 파워 분포 정보를 필요로 하며, 이는 파워 스펙트럼 밀도(Power Spectral Density, PSD)를 통해 나타낼 수 있다 (식 3).
S(f_k) = \frac{P[k]}{\Delta f}, \quad k = 1, 2, \ldots, \frac{N}{2} - 1
(식 3)
식 3에서 S(f_k)는 k번째 주파수 P[k]의 PSD를 의미하며, 식 2에서 계산한 파워 스펙트럼 P[k]를 주파수 빈의 폭 \Delta f로 나누어 계산한다. 즉, P[k]가 해당 주파수 빈에 포함된 파워의 크기를 나타낸다면, S(f_k)는 이를 단위 주파수 폭당 파워로 표현한 값이다. 앞선 식 2에서 P[k]가 단측 PS으로 정의되었으므로, 식 3의 S(f_k) 역시 양의 주파수 영역만을 대상으로 하는 단측 PSD에 해당한다.
일반적으로, PSA에서는 PS가 아닌 PSD를 이용한다. PSD는 PS와 달리, 스케일이 \Delta f에 직접적으로 의존하지 않기 때문이다. 그러나, 동일한 샘플링 간격 \Delta t와 관측 길이를 갖는 시계열을 비교하는 경우, PS와 PSD는 값의 규모와 단위는 다르지만 주파수 성분의 상대적 분포와 피크 위치는 동일하게 유지된다. 따라서, 주요 주기 성분이나 메모리 특성을 해석하는 데에는 큰 차이가 없으며, 일부 선행연구에서는 PSD 대신 PS를 사용하기도 하였다. 그림 1C는 특정 주기 성분의 진폭이 클수록 해당 주파수에서 계산되는 PSD 값이 커지며, 그 크기가 원래 주기 성분 진폭의 제곱에 비례한다는 점을 보여준다.
그림 1. (A) 가상 수질 변수의 농도(Conc.)의 300일 시계열(검정) 예시; (B) 패널 (A)의 시계열을 구성하는 30일 주기 성분(진폭 3 mg/L, 파랑), 60일 주기 성분(진폭 2 mg/L, 주황), 150일 주기 성분(진폭 1 mg/L, 초록); (C) 패널 (B)에 제시된 세 주기 성분의 대응 주파수에서 계산된 PSD값.
2.2. 주기 및 메모리 특성을 해석하기
PSA를 통해 시계열의 주기와 메모리를 분석할 때는 주파수를 x축, PSD를 y축에 나타내는 주기도(Periodogram)를 활용한다. 이때, 시계열의 주된 주기는 주기도에서 상대적으로 큰 PSD 값을 보이는 주파수의 역수를 취해 계산할 수 있다. 예를 들어, 낙동강 권역에 속한 남강 유역(\sim 3{,}400\ \mathrm{km}^2)의 2014~2016년 일유량 시계열을 살펴보자(그림 2A). 앞서 그림 1에서 설명한 것처럼, 해당 일유량 시계열을 주파수 도메인으로 변환하면, 시계열에 내재된 주파수 성분과 각 주파수에서의 PSD 값에 대해 주기도를 그릴 수 있다 (그림 2B; 주파수 저역대의 변화를 효과적으로 나타내기 위해 x축을 상용로그 스케일로 표시함). 해당 주기도에서는 상대적으로 큰 PSD 값을 갖는 두 주파수 성분이 관찰되며, 각각 f_1 = 10^{-2.56} = 1/365\ [1/\mathrm{day}] 그리고 f_2 = 10^{-2.09} = 1/122\ [1/\mathrm{day}]에 해당한다. 이는 해당 일유량 시계열에 약 1년 및 약 4개월 주기의 성분이 강하게 반영되어 있음을 보여준다. 즉, 해당 유량 시계열에는 연 단위 변동성과 계절 규모의 변동성이 함께 나타난다고 해석할 수 있다.
시계열의 메모리는 주파수 f와 그의 PSD인 S(f) 사이 멱함수 관계를 이용해 해석할 수 있으며, 이때 멱함수 지수 \alpha값은 메모리의 특성을 나타낸다(Bedia et al., 2014; D’Mello et al., 2011; Witt & Malamud, 2013; 식 4).
S(f) \propto f^{-\alpha}
(식 4)
멱함수 관계는 전대수지 상에서 선형으로 나타나므로, 전대수지로 표현한 주기도에서 선형 기울기가 -\alpha이다 (그림 2C). 이론적으로, \alpha는 모든 실수 값을 가질 수 있으나, 일반적인 수문 시계열에 대한 \alpha 범위는 0~2 범위로 알려져 있다. 메모리는 지속성(Persistence)와 예측가능성(Predictability) 측면으로 살펴볼 수 있고, 메모리의 특성에 따라 관습적으로 붙여진 노이즈 컬러 명칭이 존재한다 (표 1). \alpha \sim 0인 시계열은 메모리가 존재하지 않으며, \alpha값이 커질수록 현재 값은 더 긴 기간에 걸친 과거 데이터의 영향을 받는다(Hrachowitz et al., 2015). 메모리를 지속성과 예측가능성 중 어느 관점으로 해석하느냐에 따라 \alpha값에 따른 메모리의 특징을 구분하는 용어가 달라지나, 이는 모순이 아니다. 이는 메모리란 과거의 영향이 현재에 남아있도록 하는 성질이므로, ‘장기 메모리’와 ‘단기 메모리’라는 표현은 어떤 영향이 실제로 오래 또는 짧게 지속된다는 뜻이라기보다, 시계열 내 변동이 과거 데이터와 어떤 방식으로 관련되는지를 의미하기 때문이다. 브라운 운동을 하는 입자를 예시로 설명할 수 있다. 표 1에 정리된 것처럼, 브라운 운동을 하는 입자의 시계열은 \alpha \sim 2값을 갖는다. 이는 시계열에 가까운 과거 데이터의 영향이 강하게 남아 있어, 입자가 짧은 시간 뒤 어디에 있을지는 현재 위치와 가까울 가능성이 높기 때문에 어느 정도 예측 가능하다는 의미이다. 그러나, 시간이 길어질수록 과거 입자의 움직임이 다음 입자에 미치는 영향이 누적되어 입자의 위치를 점점 예측하기 어려워진다. 이에 따라, \alpha \sim 2인 메모리 특징은 과거 데이터의 영향이 지속된다는 관점에서는 장기 메모리, 짧은 기간의 예측은 비교적 쉽다는 관점에서는 단기 메모리로 해석된다.
특정 메모리 특징(즉, 멱함수 지수 \alpha값이 유지되는 구간)이 나타나는 정량적인 시간 길이는 PSD와 f의 멱함수 관계가 성립하기 시작하는 주파수를 찾은 뒤, 해당 주파수 값을 역수 취해 시간 차원으로 돌리면 알 수 있다.
그림 2. (A) 대한민국 낙동강 권역에 속한 남강 유역에서 측정한 2014-2016년 일유량 시계열; (B) 패널 A의 시계열에 대한 주기도와 주요 주파수 성분 (f_1=10^{-2.56}, f_2=10^{-2.09}); (C) PSD와 주파수 사이의 멱함수 관계를 이용한 메모리 해석 결과 (\alpha=0.95).
표 1. 멱함수 지수 α 의 값에 따른 시계열의 메모리 특성 해석.
3. PSA를 활용한 선행연구 정리
본 섹션에서는 앞서 설명한 PSA방법을 활용하여 하천의 수량 및 수질인자 시계열에 내재된 메모리 특성을 분석한 대표적인 선행연구를 소개하고자 한다 (표 2).
Gall et al. (2013)은 미국의 4개 유역에서 강수량과 유량의 메모리를 비교하였고, 1개의 농업유역에서 유량과 6개 수질인자의 메모리를 비교하였다. 그 결과, 확률적으로 내린 빗방울이 유역을 통과하며 저장 및 완충 등의 작용을 겪은 뒤, 메모리가 있는 유량 시계열로 바뀐다는 것을 알아냈다.그리고 농업유역에서 지질에 풍부한 수질인자(예,Na+)와 비료에 포함되어 꾸준히 토양에 유입된 수질인자(예, NO3–)는 유량과 유사한 α를 가지나, 제초제에 포함되어 일시적으로만 토양 유입되는 수질인자(예, 아트라진)는 메모리가 없음을 발견하였다. 이를 통해, PSA가 수질인자의 토양 내 유산 저장소(Legacy source)의 형성여부를 분석하는 데에 사용할 수 있음을 보였다.
Kirchner and Neal (2013)은 인간의 개입이 거의 없는 웨일즈의 두 원시 소유역에서 빗물과 유량을 대상으로 45개 수질인자를 측정하고, 각 시계열의 메모리 특성을 비교하였다. 그 결과, 빗물에서 측정된 수질인자의 시계열은 α가 0에 가까워 메모리가 거의 존재하지 않은 반면, 유량에서 측정된 수질인자의 시계열에서는 α가 1에 가까운 메모리 특성이 나타났다. 저자는 수질인자의 기원이 대기, 해양, 토양 등으로 다양하고, 그 분류 역시 양이온, 음이온, 영양염류, 중금속 등으로 다양함에도 유량에서 측정된 모든 수질인자의 시계열에서 α~1의 특성이 나타난다는 점에 근거하여, 유역 필터링을 거친 시계열에서 α~1의 프랙털 스케일링이 나타나는 것이 전 세계적으로 공통된 현상일 가능성을 제시하였다. 그러나, 이러한 해석은 유역의 토지 이용 방식에 따라 특정 인자의 토양 내 저장 여부가 달라지고, 그에 따라 α 또한 달라질 수 있음을 보인 Gall et al. (2013)의 결과와는 상반된다.
표 2. 선행연구에서 수량 또는 수질인자의 시계열을 PSA 수행한 결과 일부 발췌 및 정리.
Kim et al. (2016)은 한국의 5대 주요 유역(한강, 금강, 영산강, 섬진강, 낙동강)에 속한 78개 단위 유역에서 강수량과 유량의 메모리를 분석하였다. 이를 통해, 유량과 달리, 강수 시계열은 메모리가 존재하지 않는 확률적인 시계열임을 보였다. 다만, Gall et al. (2013)의 결과와 비교하면 강수량 시계열에 대한 α값이 다소 증가하였는데, 저자는 이것을 연 강수량의 50% 이상이 여름 장마철에 집중된 한반도의 계절적 특징이 원인이라고 해석하였다. 또한, 유량 메모리와 토지 피복의 관계를 분석하여, 도시화로 인한 불투수면적의 증가가 유량 메모리를 감소시킴을 밝혔다.
Tu et al. (2023)은 미국 전역의 2,597개 유역에 대한 일 단위 유량 시계열과 7,504개 유역에 대한 연 단위 유량 시계열을 분석하여, 시간 해상도에 따른 유량 시계열 메모리의 차이를 평가하였다. 분석 결과, 일유량 시계열은 뚜렷한 지속성을 보인 반면, 연유량 시계열에서는 메모리가 거의 나타나지 않았다. 이는 동일한 인자의 시계열이더라도 시간 해상도에 따라 변동 특성이 크게 달라질 수 있음을 의미한다. 또한, 시간 해상도와 무관하게 유량 메모리의 상당 부분이 인간의 토지 이용 및 물 이용에 의해 설명됨을 확인함으로써, 하천 유량 시계열에서 인간활동이 중요한 변동 원인임을 보였다.
앞서 살펴본 주요 선행연구들은 PSA가 시계열 특성을 분석하는 데 유용하며, 시간 도메인 분석과는 다른 관점을 제공하는 상호보완적 분석 도구임을 보여준다. 이들 연구를 종합하면, PSA를 통해 얻은 멱함수 지수 α는 수량 및 수질인자가 겪은 유역 내 저장·이동·혼합 과정의 결과를 반영하는 지표로 이해될 수 있다. 다만, α의 크기는 토지 이용, 도시화, 그리고 시계열의 시간 해상도 등에 따라 달라질 수 있으므로, 시계열의 메모리를 해석할 때는 유역 특성과 관측 조건을 함께 고려할 필요가 있다. 즉, PSA는 시계열의 변동성을 정량화하는 데 그치지 않고, 유역 내 과정과 인간 활동의 영향을 연계하여 해석하는 데 유용한 방법이다.
4. 시간 도메인과 주파수 도메인 분석법의 비교와 의의
시간 도메인과 주파수 도메인의 시계열 분석법은 모두 시계열의 주기성과 메모리를 파악하는 데 유용하지만, 서로 다른 관점에서 정보를 제공하며 저마다의 장단점을 가진다. 각 도메인의 대표적인 분석법인 ACF와 PSA를 비교하고, 두 접근법의 의의를 정리하며 본 기사를 마무리하고자 한다.
ACF는 특정 시점의 값이 과거 값과 얼마나 유사한지를 시간 지연에 따라 보여주므로, 메모리의 지연 구조를 직관적으로 확인하는 데 강점이 있다. 반면, 잡음이 많거나 여러 주기 성분이 중첩된 시계열에서는 해석이 모호해질 수 있으며, 개별 주파수 성분을 정량적으로 분리하기 어렵다는 한계가 있다. PSA는 시계열을 주파수 도메인에서 해석함으로써 어떤 주기 성분이 강하게 나타나는지를 파악하고, 주파수별 파워 분포를 통해 메모리 특성을 해석하는 데 적합하다. 그러나, 푸리에 변환에 기반한 PSA는 전체 분석 기간에 걸친 평균적인 주파수 특성을 보여주기 때문에, 비정상 시계열에서 특정 패턴이 언제 발생했는지를 설명하는 데에는 한계가 있다. 즉, ACF와 PSA는 분석 도메인에 따라 서로 다른 장단점을 갖는 상호보완적 방법이므로, 분석 목적과 자료의 특성에 따라 적절한 방법을 선택하는 것이 중요하다. 나아가, 두 방법을 함께 활용하면 시계열의 시간적 의존 구조와 주파수별 변동 특성을 함께 파악함으로써, 수자원 분야 시계열의 특성을 다각도로 이해할 수 있을 것이다.
감사의 글
이 성과는 서울대학교 신임교수 연구정착금으로 지원되는 연구비 및 정부(과학기술정보통신부)의 재원으로 한국연구재단의 지원을 받아 수행된 연구임 (No. RS-2025-00523350).
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